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三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式

时间:2021-03-01保存为WORD

三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式

一、三角形边角关系和三角形内角的三角函数关系式

1、在三角形中有

(1)大边对大角、大角对大边;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即$△ABC$中,$∠A>∠B \Leftrightarrow a>b \Leftrightarrow \sin A>\sin B$。

(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

(3)$A+B+C=π$。

(4)三角形内角的三角函数关系式

①$\sin A=\sin {(B+C)}$,$\cos A=-\cos (B+C)$,$\tan A=-\tan (B+C)$。

②$\sin \frac{A}{2}$=$\cos \frac{B+C}{2}$,$\cos \frac{A}{2}=\sin \frac{B+C}{2}$。

③$\sin 2A$=$-\sin (2B+2C)$,$\cos 2A=\cos (2B+2C)$,$\tan 2A$=$-\tan (2B+2C)$。

④$\sin A+\sin B+\sin C$=$4\cos\frac{A}{2}$$\cos \frac{B}{2}$$\cos \frac{C}{2}$,$\tan A+\tan B+\tan C$=$\tan A$$\tan B$$\tan C$。

⑤$\sin 2A$+$\sin 2B$+$\sin 2C$=4$\sin A$$\sin B$$\sin C$,$\cos 2A$+$\cos 2B$+$\cos 2C$=-1-4$\cos A$$\cos B$$\cos C$。

2、在直角三角形中有

(1)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

(2)在直角三角形中,两个锐角互余。

(3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。

(4)直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

(5)${\rm Rt}△ABC$中,$∠BAC=90°$,$AD$是斜边$BC$上的高,则有定理如下:

① $AD^2$=$BD$·$DC,$

② $AB^2$=$BD$·$BC$,

③ $AC^2$=$CD$·$BC$,

④$AB$·$AC$=$AD$·$BC$,

⑤直角三角形的外接圆的半径$R=\frac{1}{2}BC$,

⑥直角三角形的内切圆的半径$r$=$\frac{1}{2}(AB+AC-BC)$或$r$=$\frac{AB·AC}{AB+BC+CA}$,

⑦等腰直角三角形三边之比为1∶1∶$\sqrt{2}$。

二、三角形边角关系的相关例题

已知$α$是三角形的一个内角,且$\sin α+\cos α$=$\frac{2}{3}$,则此三角形是

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

答案:C

解析:由题设可知$α$是三角形的一个内角,则$\sin α$>0,将$\sin α$+$\cos α$=$\frac{2}{3}$两边平方可得1+2$\sin α\cos α$=$\frac{4}{9}$,即$\sin α\cos α$=$-\frac{5}{18}$<0$\Rightarrow$$\cos α$<0 , 所以$\frac{π}{2}<α<π$,即该三角形是钝角三角形,故选C。

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