平面向量和几种特殊的向量

一、平面向量和几种特殊的向量

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作：$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。

向量的两要素：大小和方向。

2、向量的模

向量的大小叫做向量的长度（或称模），记作：$|\overrightarrow{AB}|$或$|\boldsymbol a|$。

3、几种特殊的向量

（1）零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作$\mathbf{0}$，其方向是任意的，$|\mathbf{0}|=0$。

规定：$\mathbf{0}$与任一向量平行。

（2）单位向量

长度为1个单位的向量叫做单位向量。

（3）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量。

向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$平行，通常记作$\boldsymbol a∥b$。

（4）相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$相等，记作$\boldsymbol a=\boldsymbol b$。

① 平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量。

② 相等向量具有传递性，而向量的平行不具有传递性（因为有零向量的存在）。

（5）相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$相反，记作$\boldsymbol a=-b$。同时向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$是一对相反向量，记作$\overrightarrow{AB}$=$-\overrightarrow{BA}$。

注：①零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性。

②任一向量和它的相反向量的和是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。

③向量既有大小，又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，但向量的模能比较大小。

④$\displaystyle{}\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}$表示与$\boldsymbol a$同向的单位向量。

4、向量的线性运算

（1）向量的加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

① 常用结论

$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。

② 向量加法的运算律

交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。

结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。

（2）向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

常用结论

$-(-\boldsymbol a)=\boldsymbol a$，$\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=(-\boldsymbol a)+\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol a-\boldsymbol b=\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)$。

（3）向量的数乘

一般地，我们规定实数$λ$与向量$\boldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λ\boldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：

① $|λ\boldsymbol a|=|λ||\boldsymbol a|$。

② 当$λ=0$时，$λ\boldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相同。

向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+\boldsymbol a$，$λ-\boldsymbol a$无意义。

向量数乘的运算律

设$λ$，$μ$为实数，则有：

$λ(μ\boldsymbol a)=(λμ)\boldsymbol a$（结合律）。

$(λ+μ)\boldsymbol a=λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol a$（第一分配律）。

$λ(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a+λ\boldsymbol b$（第二分配律）。

特别地，我们有：

$(-λ)\boldsymbol a=-(λ\boldsymbol a)=λ(-\boldsymbol a)$。

$λ(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a-λ\boldsymbol b$。

（4）向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1\boldsymbol a±μ_2\boldsymbol b)=$$λμ_1\boldsymbol a±λμ_2\boldsymbol b$。

5、向量共线定理

向量$\boldsymbol a(\boldsymbol a≠0)$与$\boldsymbol b$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$，使$\boldsymbol b=λ\boldsymbol a$。

注：（1）定理中$\boldsymbol a(\boldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$\boldsymbol a=\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，则实数$λ$可以是任意实数；若$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol b≠\boldsymbol 0$，则不存在实数$λ$，使得$\boldsymbol b=λ\boldsymbol a$。

（2）对任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，若存在不全为0的实数对（$λ$，$μ$），使$λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol b=0$，则$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$共线。

（3）向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

6、平面向量基本定理

如果$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量$\boldsymbol a$，有且只有一对实数$λ_1$，$λ_2$，使$\boldsymbol a=λ_1\boldsymbol e_1+λ_2\boldsymbol e_2$。把不共线的向量$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线（两两不共线）的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：（1）由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

（2）如果对于一组基底$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$，有$\boldsymbol a=$$λ_1\boldsymbol e_1+$$λ_2\boldsymbol e_2=$$μ_1\boldsymbol e_1+$$μ_2\boldsymbol e_2$，则可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

7、向量的夹角

已知两个非零向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$，作$\overrightarrow{OA}=$$\boldsymbol a$，$\overrightarrow{OB}=$$\boldsymbol b$，则$∠AOB=θ$（$0°\leqslant θ\leqslant 180°$）叫做向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角。

当$θ=0°$时，向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共线且同向；

当$θ=90°$时，向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$相互垂直，记作$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b$；

当$θ=180°$时，向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共线且反向。

注：（1）向量的夹角是针对非零向量定义的。

（2）只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角。

8、平面向量的坐标运算

已知$A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$，则$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$。

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。

注：（1）相等的向量坐标相同，但起点和终点的坐标不一定相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关。

9、平面向量的坐标表示

（1）平面向量共线的坐标表示

已知$\boldsymbol a=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol b=(x_2,y_2)$，若$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$，则有$x_1y_2-x_2y_1=0$。当且仅当$(x_2≠0,y_2≠0)$时，$\boldsymbol a∥\boldsymbol b\Leftrightarrow$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例。

注：若$A=(x_1,y_1)$，$B=(x_2,y_2)$，$C=(x_3,y_3)$三点共线，则$(x_2-x_1)(y_3-y_2)=$$(x_3-x_2)(y_2-y_1)$，或$(x_2-x_1)(y_3-y_1)=$$(x_3-x_1)(y_2-y_1)$，或$(x_3-x_1)(y_3-y_2)=$$(x_3-x_2)(y_3-y_1)$。反之，若这些条件中有一个成立，则$A$，$B$，$C$三点共线。

（2）平面向量垂直的坐标表示

已知$\boldsymbol a=(x_1,y_1)$，$\boldsymbol b=(x_2,y_2)$，若$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b$，则有$\boldsymbol a·\boldsymbol b=$$x_1x_2+y_1y_2=0$。

（3）线段中点的坐标表示

已知点$P$为线段$P_1P_2$的中点，且$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，$P(x,y)$，则有$x=\frac{x_1+x_2}{2}$，$y=\frac{y_1+y_2}{2}$。

10、平面向量的数量积

已知两个非零向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$，我们把数量$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|·\cos θ$叫做$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的数量积（或内积），记作$\boldsymbol a·\boldsymbol b$，即$\boldsymbol a·\boldsymbol b=$$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|·\cos θ$，其中$θ$是$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角。

两个向量夹角的取值范围是$[0°,180°]$，零向量与任一向量的数量积为0。

数量积的几何意义

数量积$\boldsymbol a$·$\boldsymbol b$等于$\boldsymbol a$的长度$|\boldsymbol a|$与$\boldsymbol b$在$\boldsymbol a$的方向上的投影$|\boldsymbol b|\cos θ$的乘积。

注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$|\boldsymbol b|$；当$θ=180°$时投影为$-|\boldsymbol b|$。

② $\boldsymbol b$在$\boldsymbol a$方向上的投影可以记为$|\boldsymbol b|\cos θ$，也可记为$\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|}$。

二、平面向量的相关例题

已知非零向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$满足$|\boldsymbol a|=2|\boldsymbol b|$，且$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)⊥\boldsymbol b$，则$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为___

A．$\frac{π}{6}$ B．$\frac{π}{3}$ C．$\frac{2π}{3}$ D．$\frac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)⊥\boldsymbol b$，得$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)·\boldsymbol b=0$，所以$\boldsymbol a·\boldsymbol b=\boldsymbol b^2$，所以$\cos 〈\boldsymbol a,\boldsymbol b〉=$$\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|·|\boldsymbol b|}=$$\frac{|\boldsymbol b|^2}{2|\boldsymbol b|^2}=$$\frac{1}{2}$，所以$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为$\frac{π}{3}$，故选B。