等比数列的性质

一、等比数列的性质

设$\{a_n\}$是公比为$q$的等比数列，那么

（1）数列$\{a_n\}$是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即$a_1a_n=a_2a_{n-1}=a_3a_{n-2}=$$\cdots=$$a_ma_{n-m+1}$。

（2）若$m$，$n$，$p$$(m,n,p∈\mathbf{N}^*)$成等差数列，则$a_m$，$a_n$，$a_p$成等比数列，即$a^2_n=a_ma_p$。

（3）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_ma_n=a_pa_q$。特别地，若$m+n=2p$，则$a_ma_n=a^2_p$。

（4）数列$\{λa_n\}$（$λ$为不等于0的常数）仍是公比为$q$的等比数列；

数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是公比为$\frac{1}{q}$的等比数列；

数列$\{|a_n|\}$是公比为$|q|$的等比数列；

若数列$\{b_n\}$是公比为$q^′$的等比数列，则数列$\{a_n·b_n\}$是公比为$q·q^′$的等比数列。

（5）当数列$\{a_n\}$是各项都为正数的等比数列时，数列$\{\lg a_n\}$是公差为$\lg q$的等差数列。

（6）在数列$\{a_n\}$中，连续相邻$k$项的和或积构成公比为$q^k$或$q^{k^2}$的等比数列（相邻$k$项的和都不为0）。

（7）在数列$\{a_n\}$中，每隔$k(k∈\mathbf{N}^*)$项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为$q^{k+1}$。

二、等比数列的性质的相关例题

已知数列$\{a_n\}$，若$a_1=2$，$a_{n+1}+a_n=2n+1$，则$a_{2021}=$____

A．2 019 B．2 020

C．2 021 D．2 022

答案：D

解析：∵$a_{n+1}+a_n=2n+1$，∴$a_{n+1}-(n+1)=-(a_n-n)$，即数列$\{a_n-n\}$是以1为首项，-1为公比的等比数列，∴$a_n-n=(-1)^{n-1}$，∴$a_n=n+(-1)^{n-1}$，∴$a_{2021}=2\ 021+1=2\ 022$，故选D。