交集的定义和性质

一、交集的定义和性质

1、交集的定义：一般地，由属于集合$A$且属于集合$B$的所有元素组成的集合，称为$A$与$B$的交集，记作$A∩B$（读作“$A$交$B$”），即$A∩B={x|x∈A$且$x∈B}$。

2、交集的性质：

① $A∩B=B∩A$，$A∩A=A$，$A∩\varnothing=\varnothing。$

② 若$A∩B=A$，则$A\subseteq B。$

③$(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。$

3、交集的运算

（1）若两个集合$A$和$B$的交集为空，则说它们没有公共元素，写作：$A∩B=\varnothing$。例如集合${1,2}$ 和${3,4}$ 不相交，写作${1,2} ∩{3,4}=\varnothing$。

（2）任何集合与空集的交集都是空集，即$A∩\varnothing=\varnothing$。

（3）交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合$A、B、C$和$D$的交集为$A∩B∩C∩D=A∩[B∩(C∩D)]$。交集运算满足结合律，即$A∩(B∩C)=(A∩B)∩C$。

二、交集的相关例题

已知集合$A={x∈\mathbf{Z}|x^2-4x-5<0}$，$B={x|4^x>2^m}$，若$A∩B$有三个元素，则实数$m$的取值范围是

A．$[3,6)$ B．$[1,2)$

C．$[2,4)$ D．$(2,4]$

答案：C

解析：集合$A={x∈{\mathbf{Z}}|x^2-4x-5<0}=$${0,1,2,3,4}$，$B={x|4^x>2^m}={x|x>\frac{m}{2}}$，$∵A∩B$有三个元素，∴$1≤\frac{m}{2}<2$，解得$2≤m<4$，∴实数$m$的取值范围是$[2,4)$，故选C。