排序不等式的定义和应用技巧

一、排序不等式的定义和应用技巧

1、排序不等式

设$a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$，$b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots\leqslant b_n$为两组实数，$c_1\leqslant c_2\leqslant \cdots\leqslant c_n$为$b_1\leqslant b_2\cdots\leqslant b_n$的任一排列，则$S=a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3+\cdots+a_nc_n$称为数组$(a_1，a_2，\cdots，a_n)$和$(b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n)$的乱序和，其中按相反顺序相乘所得积的和$S_1$=$a_1b_n$+$a_2b_{n-1}$+$a_3b_{n-2}$+$\cdots$+$a_nb_1$称为反序和，按相同顺序相乘所得积的和$S_2$=$a_1b_1$+$a_2b_2$+$a_3b_3$+$\cdots$+$a_nb_n$称为顺序和。

2、排序不等式定理

定理：（排序不等式，又称排序原理）设$a_1≤a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$,$b_1\leqslant b_2\leqslant \cdots\leqslant b_n$为两组实数，$c_1，c_2，\cdots，c_n$为$b_1，b_2，\cdots，b_n$的任一排列，则$a_1b_n+a_2b_{n-1}+a_3b_{n-2}+\cdots+a_nb_1$$\leqslant a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3+\cdots+a_nc_n$$\leqslant a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots+a_nb_n$，当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$或$b_1=b_2=\cdots=b_n$时，反序和等于顺序和。

排序不等式可简记为：反序和$≤$乱序和$≤$顺序和。

3、排序不等式的应用技巧

（1）使用排序不等式时，必须存在有大小顺序的两组数列（或代数式），从而探究对应项乘积和的大小关系。

（2）本质：两组数列顺序同向单调（同增或同减）时，对应项乘积和最大，反向单调（一增一减）时，对应项乘积和最小，当其中一组数列为常数数列时，对应项乘积和不变。

（3）排序原理的思想：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题。

二、排序不等式的相关例题

设$a，b，c$为正数，求$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$的最小值为___

A．$\frac{3}{2}$

B．2

C．$\frac{5}{2}$

D．3

答案：A

解析：不妨设$a≥b≥c$, 于是$a+b≥c +a≥b+c$。又∵$a\geqslant b\geqslant c$，$\frac{1}{b+c}≥\frac{1}{c+a}≥\frac{1}{a+b}$，∴由排序不等式：顺序和≥乱序和得$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$≥\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$，$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$≥\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$，两式相加得$2\left( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \right)≥3$，∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}≥\frac{3}{2}$。当且仅当$a=b=c$时,等号成立。∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$的最小值为$\frac{3}{2}$。