指数函数的性质和底数对图象的影响

一、指数函数的性质和底数对图象的影响

1、指数函数的性质

指数函数$y=a^x$

（1）当$0<a<1$时

①定义域为$\mathbf{R}$；

②值域为$（0,+∞）$；

③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；

在$\mathbf{R}$上是减函数；当$x>0$时，$0<y<1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$y>1$。

（2）当$a>1$时

①定义域为$\mathbf{R}$；

②值域为$（0,+∞）$；

③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；

在$\mathbf{R}$上是增函数；当$x>0$时，$y>1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$0<y<1$。

2、底数对图象的影响

（1）由指数函数$y=a^x$与直线$x=1$相交于点$(1，a)$可知：在$y$轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数$y=a^x$与直线$x=-1$相交于点$\left(-1，\frac{1}{a}\right)$可知：在$y$轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图象间的关系可概括的记忆为：在$y$轴右边“底大图高”；在$y$轴左边“底大图低”。

3、指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。

二、指数函数的性质的相关例题

已知$a=2^\frac{4}{3},b=4^\frac{2}{5},c=25^\frac{1}{3}$，则___

A．$b<a<c$

B．$a<b<c$

C．$b<c<a$

D．$c<a<b$

答案：A

解析：因为$a=2^\frac{4}{3}=4^\frac{2}{3}>4^\frac{2}{5}=b,c=25^\frac{1}{3}=5^\frac{2}{3}>4^\frac{2}{3}=a$，所以$b<a<c$，故先A。