指数函数的定义域和底数对图象的影响

一、指数函数的定义域和底数对图象的影响

1、指数函数$y=a^x$

（1）当$0<a<1$时

①定义域为$\mathbf{R}$；

②值域为$（0,+∞）$；

③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；

在$\mathbf{R}$上是减函数；当$x>0$时，$0<y<1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$y>1$。

（2）当$a>1$时

①定义域为$\mathbf{R}$；

②值域为$（0,+∞）$；

③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；

在$\mathbf{R}$上是增函数；当$x>0$时，$y>1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$0<y<1$。

2、底数对图象的影响

（1）由指数函数$y=a^x$与直线$x=1$相交于点$(1，a)$可知：在$y$轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数$y=a^x$与直线$x=-1$相交于点$\left(-1，\frac{1}{a}\right)$可知：在$y$轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图象间的关系可概括的记忆为：在$y$轴右边“底大图高”；在$y$轴左边“底大图低”。

3、指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。

二、指数函数的定义域的相关例题

指数函数$f(x)=a^2(a>0,$且$a≠1)$在$\mathbf{R}$上是减函数，则函数$g(x)=\frac{a-2}{x^2}$在其定义域上的单调性为___

A．单调递增

B．单调递减

C．在$(0,+∞)$上递增，在$(-∞,0)$上递减

D．在$(0,+∞)$上递减，在$(-∞,0)$上递增

答案：C

解析：结合指数函数的性质可知：$0<a<1$，函数$g(x)$的导函数：$g′(x)=\frac{-2(a-2)}{x^3}$，当$x∈(-∞,0)$时，$g′(x)<0$，函数$g(x)$单调递减，当$x∈(0,+∞)$时，$g′(x)>0$，函数$g(x)$单调递增，故选C。