函数自变量的取值范围和定义

一、函数自变量的取值范围和定义

1、函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量$x$与$y$，并且对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说$x$是自变量，$y$是$x$的函数。

对函数概念的理解主要抓住以下三点：

（1）有两个变量；

（2）一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化；

（3）对于自变量，每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

2、函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体。

（1）求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合实际意义。

（2）自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数。在一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分。

3、函数值

如果在自变量取值范围内给定一个值$a$，函数对应的值为$b$，那么$b$叫做当自变量取值为$a$时的函数值。

对函数值的理解

（1）函数是表示两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值；

（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少。

4、函数的解析式

像$y=50-0.1x$这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。

（1）确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题类似，设$x$是自变量，$y$是$x$的函数，先列出关于$x$，$y$的二元方程，再用含$x$的代数式表示$y$，最后写出自变量$x$的取值范围。

（2）在确定实际问题中的函数解析式时，不要忽略自变量的取值范围。

二、函数自变量的取值范围的相关例题

函数的自变量$x$满足$\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant2$时，函数值$y$满足$\frac{2}{3}\leqslant y\leqslant4$，则这个函数可以是___

A．$y=\frac{4}{3x}$ B．$y=\frac{3}{4x}$

C．$y=\frac{3}{2x}$ D．$y=\frac{2}{3x}$

答案：A

解析：A．在$y=\frac{4}{3x}$中，当$x=\frac{1}{3}$时，$y=4$；当$x=2$时，$y=\frac{2}{3}$；符合题意，故A正确；B．在$y=\frac{3}{4x}$中，当$x=\frac{1}{3}$时，$y=\frac{9}{4}$；当$x=2$时，$y=\frac{3}{8}$；不符合题意，故B错误；C．在$y=\frac{3}{2x}$中，当$x=\frac{1}{3}$时，$y=\frac{9}{2}$；当$x=2$时，$y=\frac{3}{4}$；不符合题意，故C错误；D．在$y=\frac{2}{3x}$中，当$x=\frac{1}{3}$时，$y=2$；当$x=2$时，$y=\frac{1}{3}$；不符合题意，故D错误；故选A。