函数的概念和函数值

一、函数的概念和函数值

1、函数

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量$x$与$y$，并且对于$x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说$x$是自变量，$y$是$x$的函数。

对函数概念的理解主要抓住以下三点：

（1）有两个变量；

（2）一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化；

（3）对于自变量，每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。

2、函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体。

（1）求自变量的取值范围通常从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是符合实际意义。

（2）自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，还可以是单独一个（或几个）数。在一个函数关系式中，同时有分式、根式等，函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分。

3、函数值

如果在自变量取值范围内给定一个值$a$，函数对应的值为$b$，那么$b$叫做当自变量取值为$a$时的函数值。

对函数值的理解

（1）函数是表示两个变量之间的一种关系，函数值是一个数值；

（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少。

4、函数的解析式

像$y=50-0.1x$这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式。

（1）确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题类似，设$x$是自变量，$y$是$x$的函数，先列出关于$x$，$y$的二元方程，再用含$x$的代数式表示$y$，最后写出自变量$x$的取值范围。

（2）在确定实际问题中的函数解析式时，不要忽略自变量的取值范围。

5、函数的图象

（1）画函数图象的一般步骤

①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。

（2）函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系

①通常判断点是否在函数图象上的办法是将这个点的坐标代入函数解析式，若满足函数解析式，则这个点就在其函数的图象上。

②两个函数图象的交点坐标就是这两个函数解析式所组成的方程组的解。

6、函数的表示方法

（1）列表法

把自变量$x$的一系列值和函数$y$的对应值列成一个表来表示函数关系的方法叫做列表法。

优点：能明显地呈现出自变量的值与对应的函数的值。

缺点：只能列出部分自变量的值与对应的函数的值，难以看出自变量与函数的对应关系。

（2）解析式法

用含有自变量的代数式表示函数的方法叫做解析式法。

优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数性质。

缺点：有些函数关系不能用解析式表示。

（3）图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

优点：形象直观，能清晰地呈现函数的一些性质。

缺点：所画的图象是近似的、局部的，从图象上观察的结果也是近似的。

二、函数的概念的相关例题

下列关于变量$x$、$y$的关系中：① $3x-$$2y=$5；② $y=|x|$；③ $2x-y^2=10$。$y$是$x$的函数的是___

A．① B．①②

C．②③ D．①②③

答案：B

解析：对于$3x-2y=5$和$y=|x|$，由函数的定义可知，对于每一个$x$的值，都有唯一确定的$y$的值与之对应，符合函数关系的要求。但对于$2x-y^2=10$，即$y^2=2x-10$，$y$不是$x$的函数。当$x<5$时，$x$取一个值，如：$x=4$，则$y^2=-2$，$y$没有一个值和$x$对应；当$x>5$时，$x$取一个值，如：$x=7$，则$y^2=4$，$y$有两个值和$x$对应。故$y$不是$x$的函数，故选B。