平面向量的加法和运算律

一、平面向量的加法和运算律

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作：$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。

向量的两要素：大小和方向。

2、向量的加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。

（1）向量加法的三角形法则

已知非零向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，在平面内任取一点$A$，作$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol b$，则向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的和，记作$\boldsymbol a+\boldsymbol b$，即$\boldsymbol a+\boldsymbol b=$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=$$\overrightarrow{AC}$。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

（2）向量加法的平行四边形法则

以同一点$O$为起点的两个已知向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$为邻边作平行四边形$OACB$，则以$O$为起点的对角线$OC$就是$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的和。把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

（3）常用结论

$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。

当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。

（4）向量加法的运算律

交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。

结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。

3、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。

常用结论

$-(-\boldsymbol a)=\boldsymbol a$，$\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=$$(-\boldsymbol a)+$$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol a-\boldsymbol b=$$\boldsymbol a+(-\boldsymbol b)$。

二、平面向量的加法的相关例题

已知向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$均为非零向量，则下列说法不正确的个数是___

① 向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向，且$|\boldsymbol a|>|\boldsymbol b|$，则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同；

② 向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向，且$|\boldsymbol a|<|\boldsymbol b|$，则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同；

③ 向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向，则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同。

A．0 B．1 C．2 D．3

答案：B

解析：对于①，向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向，且$|\boldsymbol a|>|\boldsymbol b|$，向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同，正确；对于②，向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol b$的方向相同，故②说法不正确；③向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向，则向量$\boldsymbol a+\boldsymbol b$与$\boldsymbol a$的方向相同，正确，故①③说法正确。故选B。