解直角三角形的定义和依据

一、解直角三角形的定义和依据

1、解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的依据

在直角三角形$ABC$中，$∠C$为直角，$∠A$，$∠B$，$∠C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，那么除直角$C$外的5个元素之间有如下关系：

（1）三边之间的关系：$a^2+b^2=c^2$（勾股定理）。

（2）两锐角之间的关系：$∠A+∠B=90°$。

（3）边角之间的关系

$\sin A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，$\sin B=\displaystyle{}\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$；

$\cos A=\displaystyle{}\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$，$\cos B=\displaystyle{}\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$；

$\tan A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$，$\tan B=\displaystyle{}\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{b}{a}$。

（4）面积公式

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$（$h$为斜边上的高）。

3、解直角三角形的类型与解法

在Rt$△ABC$中，$∠C=90°$，角$A$，$B$，$C$对应的边分别为$a$，$b$，$c$。

（1）已知两直角边（如$a$，$b$），则由$\tan A=\frac{a}{b}$可求$∠A$，$∠B=90°-∠A$，$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

（2）已知斜边和一直角边（如$c$，$a$）则由$\sin A=\frac{a}{c}$可求$∠A$，$∠B=90°-∠A$，$b=\sqrt{c^2-a^2}$。

（3）已知一直角边和一锐角（锐角，邻边如$∠A$和$b$），则$∠B=90°-∠A$，$a=b·\tan A$，$c=\frac{b}{\cos A}$。（锐角，对边如$∠A$和$a$），则$∠B=90°-∠A$，$b=\frac{a}{\tan A}$，$c=\frac{a}{\sin A}$。

（4）已知斜边，锐角（如$c$，$∠A$），则$∠B=90°-∠A$，$a=c·\sin A$，$b=c·\cos A$。

4、解直角三角形应用题中的常见概念

（1）仰角、俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角。

（2）方位角

从指北方向线按顺时针方向转到目标方向线所成的角叫做方位角。

（3）方向角

从南北方向线较近一端起到目标方向线所夹的锐角叫做方向角，在找方向角时，要选准原点，在说方向角时要先说“南或北”，后说“东或西”。

（4）坡度与坡角

坡面的垂直高度$h$和水平宽度$l$的比叫做坡度，又称坡比，用$i$表示，$i=\tanα=\frac{h}{l}$，其中坡面与水平面的夹角$α$叫做坡角。

二、解直角三角形的相关例题

在下列情况下，可解的直角三角形是___

A．已知$b=3$，$∠C=90°$

B．已知$∠C=90°$，$∠B=46°$

C．已知$a=3$，$b=6$，$∠C=90°$

D．已知$∠B=15°$，$∠A=65°$

答案：C

解析：A项中，缺少$∠A$或$∠B$的值，故不能解直角三角形；B项中，知道角的关系，但是没有边的大小，故不能解直角三角形；C项中，利用勾股定理求出$c$的值，然后利用锐角三角函数的定义可求出$∠A$和$∠B$；D项中，$∠C=100°$，不是直角三角形。故选C。