三角形重心的性质和定义

一、三角形重心的性质和定义

1、三角形的重心

（1）定义

三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

（2）重心的性质

①三角形的重心到边的中心与到相应顶点的距离之比为1∶2。

②重心和三角形三个顶点组成的三个三角形面积相等。

③重心到三角形三个顶点距离的平方和最小（等边三角形）。

④三角形重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

2、三角形的内心

（1）定义

三角形的三条内角平分线交于一点，这点称为三角形的内心（内切圆圆心）。

（2）内心的性质

①三角形的内心到三边的距离相等，都等于三角形内切圆半径。

②内切圆半径$r$的计算：设三角形面积为$S$，并记$P$=$\frac{1}{2}$($a$+$b$+$c$)，则$r$=$\frac{S}{P}$。

③特别的，在直角三角形中,有$r$=$\frac{1}{2}$($a$+$b$-$c$)（$r$为三角形内切圆半径）。

3、三角形的外心

（1）定义

三角形的三条边的垂直平分线交于一点，这点称为三角形的外心（外接圆圆心）。

（2）外心的性质

①三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，都等于三角形的外接圆半径。

②锐角三角形的外心在三角形内。

③直角三角形的外心在斜边中点。

④钝角三角形的外心在三角形外。

⑤等边三角形外心与内心为同一点。

二、三角形重心的性质的相关例题

给出以下判断：

（1）线段的中点是线段的重心

（2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心

（3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点

（4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点

那么以上判断中正确的有___

A．一个 B．两个 C．三个 D．四个

答案：D

解析：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确；（2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确；（3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的重心，正确；（4）利用平行可得三角形的重心把中线分为1∶2两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确，故选D。