多边形的面积和外角

一、多边形的面积和外角

1、多边形

（1）定义

在平面内，由三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

（2）多边形的内角

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

（3）多边形的外角

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

（4）多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

一个$n$边形从一个顶点出发有$n-3$条对角线，所有对角线的数量是$\frac{n(n-3)}{2}$条。

（5）凸多边形

画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。

（6）正多边形

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

2、多边形的面积

（1）普通多边形的面积

三角形面积：$\frac{1}{2}$×底×高。

四边形面积：分成2个三角形，分别计算2个三角形面积的和。

五边形：分成3个三角形，分别计算3个三角形面积的和。

六边形：分成4个三角形，分别计算4个三角形面积的和。

$\cdots\cdots$

（2）特殊多边形的面积

正三角形面积：$\frac{1}{2}$×底×高。

长方形面积：长×宽。

正方形面积：边长×边长。

菱形面积：$\frac{1}{2}$×对角线的乘积。

平行四边形面积：边长×边长对应的高。

正五边形面积：$\frac{5}{2}$×边长×边中心到五边形中心的距离（可分为5个全等的三角形）。

正六边形面积：3×边长×边中心到六边形中心的距离（可分为6个全等的等边三角形）。

二、多边形的面积的相关例题

若正三角形与正六边形的周长相等，这个正三角形的面积是12平方厘米，那么这个正六边形的面积是多少?

答案：18

解析：设正六边形的边长为$a$，大正三角形的边长为$b$，根据题意可得：$6a=3b$，则$a∶b=$$3∶6=$$1∶2$；又由于大正三角形里面的每一个小正三角形的边长等于大正三角形边长$b$的$\frac{1}{2}$，所以大正三角形里面的每个小正三角形的面积等于正六边形里面的每一个小正三角形的面积；因此每一个小正三角形的面积是：12÷4=3（平方厘米），正六边形的面积是：3×6=18（平方厘米）。