如何判断函数的对称性与周期性

函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但考试中还会考查函数对称性、连续性、凹凸性。对称性考查的频率一直比较高，如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，尤其是抽象函数的对称性判断。

对称性的概念

①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

函数的几种变换

1、平移变换

函数y = f(x)的图像向右平移a个单位得到函数y = f(x - a)的图像;向上平移b个单位得到函数y =f(x)+ b 的图像 ;左平移a个单位得到函数y = f(x + a)的图像;向下平移b个单位得到函数y =f(x)- b 的图像(a ，b>0)。

2、伸缩变换

函数 y = f(x)的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k倍(01时，伸)得到函数 y = k f(x)的图像;

函数 y = f(x)的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍(01时，缩)得到函数y = f(k x)的图像 (k>0，且 k ≠1)。

3、对称变换

(1)函数y = f(x)的图象关于y轴对称的图像为 y =f(-x);

关于x轴对称的图像为y =-f(x);关于原点对称的图像为y =-f(-x)。

(2)函数y = f(x)的图象关于x=a对称的图像为y =f(2a-x);关于y=b对称的图像为y =2b-f(x);关于点(a，b)中心对称的图像为y =2b-f(2a-x)。

(3)绝对值问题

①函数 y =f(x)x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数 y =| f(x)|的图像;

②函数 y =f(x)y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数 y =f(| x|)的图像;

③函数y = f(x)先用第②步的方法得到函数y =f(| x|)的图像，再平移a个单位得到函数y =f(|x-a|)图象。

常见函数的对称性

①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点;幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴;而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中(kπ，0)是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零;只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴;需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，(kπ+π/2，0)是它的对称中心。

⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中(kπ/2，0)是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是(kπ,0)。

⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴，例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。

对称性的证明

1、一个函数的对称性证明

核心是间接法，即在函数上任取一点，对称点如果仍在函数图像上，我们就可以下结论该函数关于它对称。

2、两个函数之间的对称性的证明

仍是间接法，但是多一次，需在函数上任取一点，对称点如果在对方函数图像上，同时在对方函数上任取一点，对称点又在该函数图像上，我们才可以下结论该函数关于它对称。取两次的原因是以免两个图像一个只是另一个对称过来图像的一部分。

3、特别地关于y=x对称性的证明

①一个函数自身关于y=x对称不需要用上面的间接法，只需要证明它的反函数是自己就可以了。

②两个函数关于y=x对称性证明也不需要用上面那么繁琐的方法，只需证明两个函数互为反函数，即求一个的反函数为另外一个就可以了。

③反过来这句话也成立，如果需要证明两个函数互为反函数，只需要证明它们的图像关于y=x对称即可。

函数对称性结论

1.(1)函数y = f(x)与y =f(2a-x)图象关于直线x = a 对称;

(2)函数y = f(x)与y =2b-f(x)图象关于直线y = b 对称;

(3)函数y = f(x)与y =2b-f(2a-x)图象关于点(a，b)对称;

2.(1)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=f(a -x)成立，

则函数 f(x)的图像关于x=a对称;

(2)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=f(2a -bx)成立，

则函数 f(x)的图像关于x=a对称;(b≠0)

(3)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=-f(a -x)成立，

则函数 f(x)的图像关于点(a,0)对称;

(4)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(bx)=-f(2a -bx)成立，

则函数 f(x)的图像关于(a,0)对称;(b≠0)

(5)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(a + x)=2b -f(a -x)

成立，则函数 f(x)的图像关于点(a,b)对称;

(6)若函数 f(x)满足：对任意的实数x，都有f(x)=2b -f(2a -x)

成立，则函数 f(x)的图像关于(a,b)对称。

对称性的运用

1、求值

“配对”，对称性主要是考查一对函数值之间的关系。

2、“对称性+对称性”可以推导出周期性

两个对称性拼起来就可以将里面的符号化为同号，从而得出周期性。

3、“奇偶性+对称性”可以推导出周期性

这在前面已经提到，还是因为奇偶性有制造负号的能力。

4、三角函数的奇偶性

几乎所有的三角函数的奇偶性都是当对称性来使用，先求出所有的对称轴，然后y轴是其中的一条(或者先求出所有的对称中心，然后原点是其中的一个)。

5、关于y=x对称的应用

(因为f(x)=e^x与g(x)=lnx互为反函数，关于y=x对称，而f(x)=e^(x+1)是由f(x)=e^x向左移一个单位得到，g(x)=ln(x+1)也是由g(x)=lnx向左移一个单位得到，因而对称轴也跟着左移一个单位，即y=x+1)

6、对称性的本义

对称性的本义就是关于对称中心(或对称轴)对称的两个自变量的函数值的紧密关系。

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