arctanx的导数是什么？反三角函数与三角函数的关系

arctanx属于反三角函数中的反正切函数，是高中数学中的难点、重点，那么arctanx的导数是什么呢？反三角函数与三角函数的关系是什么？反三角函数与三角函数的区别是什么？关于这些问题，黑边网小编将为大家答疑解惑，供大家参考。

一、arctanx的导数是什么？

arctanx的导数是1/1+x²，即为(arctanx)'=1/(1+x^2)

设y=arctanx,则x=tany，因为arctanx′=1／tany′，且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y，则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

arctanx相关知识点补充：

arctanx（即Arctangent）指反正切函数。函数y=tanx,（x不等于kπ+π/2,k∈Z）的反函数，记作x=arctany，叫做反正切函数。其值域为（-π/2,π/2）。反正切函数是反三角函数的一种。

反函数与原函数关于y=x的对称点的导数互为倒数。设原函数为y=f(x)，则其反函数在y点的导数与f'(x)互为倒数（即原函数，前提要f'(x)存在且不为0）。

反正切函数arctanx的求导过程

设y=arctanx

则x=tany

因为arctanx′=1／tany′

且tany′=(siny/cosy)′=cosycosy-siny(-siny)/cos²y=1/cos²y

则arctanx′=cos²y=cos²y/sin²y+cos²y=1/1+tan²y=1/1+x²。

所以arctanx的导数是1/1+x²。

其他反函数的常用公式

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)

二、反三角函数与三角函数的关系

反三角函数和三角函数互为反函数。

1、一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫作函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。

2、为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin。

3、三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

但黑边网小编提醒大家需要注意的是反三角函数是一种数学术语，是一种基本初等函数。反三角函数并不能狭义地理解为三角函数的反函数，是个多值函数。

反三角函数与三角函数的关系：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)。

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