抛物线的定义和方程

一、抛物线的定义和方程

1、抛物线的定义

平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$（$l$不经过点$F$）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点$F$叫做抛物线的焦点，直线$l$叫做抛物线的准线。

设$M$是抛物线上任意一点，$F$是抛物线的焦点，点$M$到$l$的距离为$d$，由抛物线的定义知，抛物线就是集合$P={ M||MF|=d}$。

注：（1）抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为$M$；一个定点$F$（抛物线的焦点）；一条定直线$l$（抛物线的准线）；一个定值1（抛物线的离心率）。

2、抛物线的方程

中心在坐标原点，焦点在$x$轴上的抛物线的标准方程是$y^2=2px(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$y$轴上的抛物线的标准方程是$x^2=2py(p>0)$。

3、抛物线的几何性质

若抛物线方程为$y^2=2px(p>0)$，则

对称轴为$x$轴，焦点坐标$\left( \frac{p}{2},0 \right)$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，离心率$e$=1，焦准距为$p，$通径长为2$p$。

注：（1）离心率：抛物线上的点$M$到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用$e$表示。由定义可知，$e$=1。

（2）焦准距：抛物线的焦点到它的准线的距离，叫做焦准距。

（3）抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，距离的最小值为$\frac{p}{2}$。

4、点与抛物线的位置关系

对于抛物线$y^2=2px(p>0)$，我们有

（1）点$P(x_0,y_0)$在抛物线内部（与焦点共区域）$\Leftrightarrow y^2_0<2px_0$；

（2）点$P(x_0,y_0)$在抛物线外部（与焦点不共区域）$\Leftrightarrow y^2_0>2px_0$；

（3）点$P(x_0,y_0)$在抛物线上$\Leftrightarrow y^2_0=2px_0$。

二、抛物线的相关例题

设$O$为坐标原点，直线$x$=2与抛物线$C：y^2=2px(p>0)$交于$D$，$E$两点，若$OD⊥OE$，则$C$的焦点坐标为___

A．$\left( \frac{1}{4},0 \right)$

B．$\left( \frac{1}{2},0 \right)$

C．(1，0)

D．(2，0)

答案：B

解析：由题意得$D(2，2\sqrt{p})$，$E(2，-2\sqrt{p})$，

所以$\overrightarrow{O D}·\overrightarrow{O E}$=4-4$p$=0，解得$p$=1，所以焦点坐标为$\left( \frac{1}{2},0 \right)$，故选B。