抛物线的标准方程和几何性质

一、抛物线的标准方程和几何性质

1、抛物线的定义

平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$（$l$不经过点$F$）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点$F$叫做抛物线的焦点，直线$l$叫做抛物线的准线。

设$M$是抛物线上任意一点，$F$是抛物线的焦点，点$M$到$l$的距离为$d$，由抛物线的定义知，抛物线就是集合$P={M||MF|=d}$。

注：（1）抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为$M$；一个定点$F$（抛物线的焦点）；一条定直线$l$（抛物线的准线）；一个定值1（抛物线的离心率）。

2、抛物线的方程

中心在坐标原点，焦点在$x$轴正半轴上的抛物线的标准方程是$y^2=2px(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$x$轴负半轴上的抛物线的标准方程是$y^2=-2px(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$y$轴正半轴上的抛物线的标准方程是$x^2=2py(p>0)$；

中心在坐标原点，焦点在$y$轴负半轴上的抛物线的标准方程是$x^2=-2py(p>0)$。

3、抛物线的几何性质

若抛物线方程为$y^2=2px(p>0)$，则

对称轴为$x$轴，焦点坐标$\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$，离心率$e=1$，焦准距为$p$，通径长为$2p$。

注：（1）离心率：抛物线上的点$M$到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用$e$表示。由定义可知，$e=1$。

（2）焦准距：抛物线的焦点到它的准线的距离叫做焦准距。

（3）抛物线上到焦点距离最小的点是抛物线的顶点，距离的最小值为$\frac{p}{2}$。

二、抛物线的标准方程的相关例题

抛物线的准线方程是$y=-1$，则抛物线的标准方程是___

A．$x^2=4y$

B．$x^2=-4y$

C．$y^2=4x$

D．$y^2=-4x$

答案：A

解析：由抛物线准线方程$y=-1$，可知此抛物线开口向上焦点坐标为$(0,1)$，则抛物线方程为$x^2=4y$，故A正确。